八排序

前言

八大排序，三大查找是《数据结构》当中非常基础的知识点，在这里为了复习顺带总结了一下常见的八种排序算法。常见的八大排序算法，他们之间关系如下：

他们的性能比较：

直接插入排序 (Insertion sort)

直接插入排序的核心思想就是：将数组中的所有元素依次跟前面已经排好的元素相比较，如果选择的元素比已排序的元素小，则交换，直到全部元素都比较过。因此，从上面的描述中我们可以发现，直接插入排序可以用两个循环完成：

第一层循环：遍历待比较的所有数组元素
第二层循环：将本轮选择的元素(selected)与已经排好序的元素(ordered)相比较。
- 如果selected > ordered，那么将二者交换

#直接插入排序
def insert_sort(L):
    #遍历数组中的所有元素，其中0号索引元素默认已排序，因此从1开始
    for x in range(1,len(L)):
    #将该元素与已排序好的前序数组依次比较，如果该元素小，则交换
    #range(x-1,-1,-1):从x-1倒序循环到0
        for i in range(x-1,-1,-1):
    #判断：如果符合条件则交换
            if L[i] > L[i+1]:
                L[i], L[i+1] = L[i+1], L[i]

希尔排序 (Shell sort)

希尔排序的算法思想：将待排序数组按照步长gap进行分组，然后将每组的元素利用直接插入排序的方法进行排序；每次将gap折半减小，循环上述操作；当gap=1时，利用直接插入，完成排序。同样的：从上面的描述中我们可以发现：希尔排序的总体实现应该由三个循环完成：

第一层循环：将gap依次折半，对序列进行分组，直到gap=1
第二、三层循环：也即直接插入排序所需要的两次循环。具体描述见上。

#希尔排序
def insert_shell(L):
    #初始化gap值，此处利用序列长度的一半为其赋值
    gap = int(len(L)/2)
    #第一层循环：依次改变gap值对列表进行分组
    while (gap >= 1):
    #下面：利用直接插入排序的思想对分组数据进行排序
    #range(gap,len(L)):从gap开始
        for x in range(gap,len(L)):
    #range(x-gap,-1,-gap):从x-gap开始与选定元素开始倒序比较，每个比较元素之间间隔gap
            for i in range(x-gap,-1,-gap):
    #如果该组当中两个元素满足交换条件，则进行交换
                if L[i] > L[i+gap]:
                    L[i], L[i+gap] = L[i+gap], L[i]
    #while循环条件折半
        gap = int((gap/2))

简单选择排序 (Selection sort)

简单选择排序的基本思想：比较+交换。

从待排序序列中，找到关键字最小的元素；
如果最小元素不是待排序序列的第一个元素，将其和第一个元素互换；
从余下的 N - 1 个元素中，找出关键字最小的元素，重复(1)、(2)步，直到排序结束。因此我们可以发现，简单选择排序也是通过两层循环实现。
- 第一层循环：依次遍历序列当中的每一个元素
- 第二层循环：将遍历得到的当前元素依次与余下的元素进行比较，符合最小元素的条件，则交换。

# 简单选择排序
def select_sort(L):
#依次遍历序列中的每一个元素
    for x in range(0,len(L)):
#将当前位置的元素定义此轮循环当中的最小值
        minimum = L[x]
#将该元素与剩下的元素依次比较寻找最小元素
        for i in range(x+1,len(L)):
            if L[i] < minimum:
                L[i], minimum = minimum, L[i]
#将比较后得到的真正的最小值赋值给当前位置
        L[x] = minimum

堆排序 (Heap sort)

堆的概念

堆：本质是一种数组对象。特别重要的一点性质：任意的叶子节点小于（或大于）它所有的父节点。对此，又分为大顶堆和小顶堆，大顶堆要求节点的元素都要大于其孩子，小顶堆要求节点元素都小于其左右孩子，两者对左右孩子的大小关系不做任何要求。利用堆排序，就是基于大顶堆或者小顶堆的一种排序方法。下面，我们通过大顶堆来实现。

基本思想：堆排序可以按照以下步骤来完成：

首先将序列构建称为大顶堆；

（这样满足了大顶堆那条性质：位于根节点的元素一定是当前序列的最大值）

取出当前大顶堆的根节点，将其与序列末尾元素进行交换；

（此时：序列末尾的元素为已排序的最大值；由于交换了元素，当前位于根节点的堆并不一定满足大顶堆的性质）

对交换后的n-1个序列元素进行调整，使其满足大顶堆的性质；

重复2.3步骤，直至堆中只有1个元素为止

#-------------------------堆排序--------------------------------
#**********获取左右叶子节点**********
def LEFT(i):
    return 2*i + 1
def RIGHT(i):
    return 2*i + 2
#********** 调整大顶堆 **********
#L:待调整序列 length: 序列长度 i:需要调整的结点
def adjust_max_heap(L, length, i):
#定义一个int值保存当前序列最大值的下标
    largest = i
#获得序列左右叶子节点的下标
    left, right = LEFT(i), RIGHT(i)
#当左叶子节点的下标小于序列长度 并且 左叶子节点的值大于父节点时，将左叶子节点的下标赋值给largest
    if (left < length) and (L[left] > L[i]):
        largest = left
#当右叶子节点的下标小于序列长度 并且 右叶子节点的值大于父节点时，将右叶子节点的下标值赋值给largest
    if (right < length) and (L[right] > L[largest]):
        largest = right
#如果largest不等于i 说明当前的父节点不是最大值，需要交换值
    if (largest != i):
        L[i], L[largest] = L[largest], L[i]
        # 执行递归操作：两个任务：1 寻找最大值的下标；2.最大值与父节点交换
        adjust_max_heap(L, length, largest)
#********** 建立大顶堆 **********
def build_max_heap(L):
    length = len(L)
    for x in range(int((length-1)/2), -1, -1):
        adjust_max_heap(L, length, x)
#********** 堆排序 **********
def heap_sort(L):
#先建立大顶堆，保证最大值位于根节点；并且父节点的值大于叶子结点
    build_max_heap(L)
#i：当前堆中序列的长度.初始化为序列的长度
    i = len(L)
#执行循环：1. 每次取出堆顶元素置于序列的最后(len-1,len-2,len-3...)
#         2. 调整堆，使其继续满足大顶堆的性质，注意实时修改堆中序列的长度
    while (i > 0):
        L[i-1], L[0] = L[0], L[i-1]
#堆中序列长度减1
        i -= 1
#调整大顶堆
        adjust_max_heap(L, i, 0)

冒泡排序 (Bubble sort)

冒泡排序思路比较简单：

将序列当中的左右元素，依次比较，保证右边的元素始终大于左边的元素；（第一轮结束后，序列最后一个元素一定是当前序列的最大值；）
对序列当中剩下的n-1个元素再次执行步骤1。
对于长度为n的序列，一共需要执行n-1轮比较（利用while循环可以减少执行次数）

#冒泡排序
def bubble_sort(L):
    length = len(L)
#序列长度为length，需要执行length-1轮交换
    for x in range(1, length):
#对于每一轮交换，都将序列当中的左右元素进行比较
#每轮交换当中，由于序列最后的元素一定是最大的，因此每轮循环到序列未排序的位置即可
        for i in range(0, length-x):
            if L[i] > L[i+1]:
                L[i], L[i+1] = L[i+1], L[i]

快速排序 (Quick sort)

快速排序的基本思想：挖坑填数+分治法

从序列当中选择一个基准数(pivot) 在这里我们选择序列当中第一个数作为基准数
将序列当中的所有数依次遍历，比基准数大的位于其右侧，比基准数小的位于其左侧
重复步骤1.2，直到所有子集当中只有一个元素为止。

用伪代码描述如下： - i =L; j = R; 将基准数挖出形成第一个坑a[i]。 - j--由后向前找比它小的数，找到后挖出此数填前一个坑a[i]中。 - i++由前向后找比它大的数，找到后也挖出此数填到前一个坑a[j]中。 - 再重复执行2，3二步，直到i==j，将基准数填入a[i]中

#快速排序
#L：待排序的序列；start排序的开始index,end序列末尾的index
#对于长度为length的序列：start = 0;end = length-1
def quick_sort(L, start, end):
    if start < end:
        i, j, pivot = start, end, L[start]
        while i < j:
#从右开始向左寻找第一个小于pivot的值
            while (i < j) and (L[j] >= pivot):
                j -= 1
#将小于pivot的值移到左边
            if (i < j):
                L[i] = L[j]
                i += 1
#从左开始向右寻找第一个大于pivot的值
            while (i < j) and (L[i] <= pivot):
                i += 1
#将大于pivot的值移到右边
            if (i < j):
                L[j] = L[i]
                j -= 1
#循环结束后，说明 i=j，此时左边的值全都小于pivot,右边的值全都大于pivot
#pivot的位置移动正确，那么此时只需对左右两侧的序列调用此函数进一步排序即可
#递归调用函数：依次对左侧序列：从0 ~ i-1//右侧序列：从i+1 ~ end
        L[i] = pivot
#左侧序列继续排序
        quick_sort(L, start, i-1)
#右侧序列继续排序
        quick_sort(L, i+1, end)

归并排序 (Merge sort)

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个典型的应用。它的基本操作是：将已有的子序列合并，达到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。
归并排序其实要做两件事：
- 分解----将序列每次折半拆分
- 合并----将划分后的序列段两两排序合并因此，归并排序实际上就是两个操作，拆分+合并
如何合并？
- L[first...mid]为第一段，L[mid+1...last]为第二段，并且两端已经有序，现在我们要将两端合成达到L[first...last]并且也有序。
- 首先依次从第一段与第二段中取出元素比较，将较小的元素赋值给temp[]
- 重复执行上一步，当某一段赋值结束，则将另一段剩下的元素赋值给temp[]
- 此时将temp[]中的元素复制给L[]，则得到的L[first...last]有序
如何分解？
- 在这里，我们采用递归的方法，首先将待排序列分成A,B两组；
- 然后重复对A、B序列分组；
- 直到分组后组内只有一个元素，此时我们认为组内所有元素有序，则分组结束。

# 归并排序
#这是合并的函数
# 将序列L[first...mid]与序列L[mid+1...last]进行合并
def mergearray(L, first, mid, last, temp):
#对i,j,k分别进行赋值
    i, j, k = first, mid+1, 0
#当左右两边都有数时进行比较，取较小的数
    while (i <= mid) and (j <= last):
        if L[i] <= L[j]:
            temp[k] = L[i]
            i += 1
            k += 1
        else:
            temp[k] = L[j]
            j += 1
            k += 1
#如果左边序列还有数
    while (i <= mid):
        temp[k] = L[i]
        i += 1
        k += 1
#如果右边序列还有数
    while (j <= last):
        temp[k] = L[j]
        j += 1
        k += 1
#将temp当中该段有序元素赋值给L待排序列使之部分有序
    for x in range(0, k):
        L[first+x] = temp[x]
# 这是分组的函数
def merge_sort(L, first, last, temp):
    if first < last:
        mid = int(((first + last) / 2))
#使左边序列有序
        merge_sort(L, first, mid, temp)
#使右边序列有序
        merge_sort(L, mid+1, last, temp)
#将两个有序序列合并
        mergearray(L, first, mid, last, temp)
# 归并排序的函数
def merge_sort_array(L):
#声明一个长度为len(L)的空列表
    temp = len(L)*[None]
#调用归并排序
    merge_sort(L, 0, len(L)-1, temp)

基数排序 (Radix sort)

基数排序：通过序列中各个元素的值，对排序的N个元素进行若干趟的“分配”与“收集”来实现排序。
- 分配：我们将L[i]中的元素取出，首先确定其个位上的数字，根据该数字分配到与之序号相同的桶中
- 收集：当序列中所有的元素都分配到对应的桶中，再按照顺序依次将桶中的元素收集形成新的一个待排序列L[ ]
- 对新形成的序列L[]重复执行分配和收集元素中的十位、百位...直到分配完该序列中的最高位，则排序结束
根据上述“基数排序”的展示，我们可以清楚的看到整个实现的过程

#************************基数排序****************************
#确定排序的次数
#排序的顺序跟序列中最大数的位数相关
def radix_sort_nums(L):
    maxNum = L[0]
#寻找序列中的最大数
    for x in L:
        if maxNum < x:
            maxNum = x
#确定序列中的最大元素的位数
    times = 0
    while (maxNum > 0):
        maxNum = int((maxNum/10))
        times += 1
    return times
#找到num从低到高第pos位的数据
def get_num_pos(num, pos):
    return (int((num/(10**(pos-1))))) % 10
#基数排序
def radix_sort(L):
    count = 10 * [None]       #存放各个桶的数据统计个数
    bucket = len(L) * [None]  #暂时存放排序结果
#从低位到高位依次执行循环
    for pos in range(1, radix_sort_nums(L)+1):
        #置空各个桶的数据统计
        for x in range(0, 10):
            count[x] = 0
        #统计当前该位(个位，十位，百位....)的元素数目
        for x in range(0, len(L)):
            #统计各个桶将要装进去的元素个数
            j = get_num_pos(int(L[x]), pos)
            count[j] += 1
        #count[i]表示第i个桶的右边界索引
        for x in range(1,10):
            count[x] += count[x-1]
        #将数据依次装入桶中
        for x in range(len(L)-1, -1, -1):
            #求出元素第K位的数字
            j = get_num_pos(L[x], pos)
            #放入对应的桶中，count[j]-1是第j个桶的右边界索引
            bucket[count[j]-1] = L[x]
            #对应桶的装入数据索引-1
            count[j] -= 1
        # 将已分配好的桶中数据再倒出来，此时已是对应当前位数有序的表
        for x in range(0, len(L)):
            L[x] = bucket[x]

运行时间实测

10w数据

直接插入排序:1233.581131
希尔排序:1409.8012320000003
简单选择排序:466.66974500000015
堆排序:1.2036720000000969
冒泡排序:751.274449
#****************************************************
快速排序:1.0000003385357559e-06
#快速排序有误：实际上并未执行
#RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
#****************************************************
归并排序:0.8262230000000272
基数排序:1.1162899999999354

从运行结果上来看，堆排序、归并排序、基数排序真的快。对于快速排序迭代深度超过的问题，可以将考虑将快排通过非递归的方式进行实现。

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